【儀表網 研發快訊】日前，北京理工大學物理學院張向東教授課題組，在非線性全局同步和拓撲電路研究方面取得重要進展。相關工作以“Non-Hermitian global synchronization” 為題發表在Advanced Science [Adv. Sci. 2408460 (2024)]上。北京理工大學物理學院張蔚暄研究員和2022級博士生邸鳳瀟為論文的共同第一作者，張向東教授為通訊作者。研究工作得到國家重點研發計劃、 國家自然科學基金和北京市自然科學基金的大力資助。
 

　　同步的研究最早可以追溯到十七世紀荷蘭科學家惠更斯發現的相互作用雙鐘擺模型，即掛在同一根橫梁上的兩個鐘擺會朝著相反的方向同頻率擺動。自惠更斯發現同步現象以來，人們在電氣工程、無線電技術、生物學和聲學等不同領域也發現了各種同步效應。從小尺寸的微粒間同步和微納振蕩器同步，到距離千米的光機械系統的同步。從復雜生物系統的耦合生物光素同步，到尋常生日蛋糕上蠟燭火焰的同步。從稻田里的青蛙和樹上的知了同步鳴叫，到展現集體行為學的蜜蜂群體螺旋波等。
 

　　為了深入理解同步現象，科學家對多種同步模型進行了深入研究。在沒有主動驅動的情況下，由非線性引起的耦合自治振子的同步效應引起了廣泛關注。研究發現，耦合非線性振子的同步效應會顯著受到振子間的耦合方式、耦合強度以及固有頻率分布的影響，使非線性同步在實際應用中容易遭到結構無序和缺陷的破壞。同時，耦合非線性振子的同步效應對初始條件非常敏感，需要對其進行精細控制。因此，設計魯棒的新型耦合非線性振子模型，構建穩定的同步效應具有重要意義。
 

　　研究亮點一：理論揭示反常的非厄米趨膚全局同步效應
 

　　針對上述問題，研究人員對非互易耦合Stuart-Landau振子模型(圖1a)進行了系統性研究。線性非互易耦合與1D Hatano-Nelson鏈相對應。Stuart-Landau振子的動力學方程為
 

　　。研究人員對上百種隨機初始條件下，系統的時域演化特性進行了計算。發現無論初始條件如何設置，系統都會演化到反相同步態或同相同步態之一，如圖1(b1)和(b2)所示。通過穩定性分析可知，兩種同步態都具有非線性穩定性，對應于非線性極限環。有趣的是，兩種非線性同步態的空間分布(圖1(e1)和1(e2))與Hatano-Nelson鏈的兩個最小局域非厄米趨膚態(由IPR量化，圖1(c1))的空間分布完全一致(歸一化因子為11.5)。另外，反相和同相非線性同步態的頻率(圖1(d1)和1(d2))也與最小局域非厄米趨膚態的本征相對應。這些結果顯示，在弱非線性條件下 (β|Zl (t)|2?J+,J-)，系統可以展現由非厄米線性趨膚態統治的全局同步效應，即非厄米-線性全局趨膚同步。這一現象是由非厄米趨膚態的非正交性和非厄米趨膚極限環共同導致的。
 

　　為了進一步分析系統參數對非厄米趨膚全局同步的影響，研究人對Kuramoto序參量進行了擴展，定義了新的序參量Ro來量化系統的同步特性。其中，同相和反相非厄米全局同步態的序參量都具有趨于0。通過計算序參量隨非互易耦合強度的變化(圖1f)可知，非厄米線性趨膚同步效應只能存在于0.25≤J-≤1.2(J+=1.5)的區間內。這是由非厄米趨膚態的非正交性與弱非線性條件(β|Zl(t)|2?J+,J-)的平衡所導致的。此外，非厄米趨膚全局同步也可以展示尺寸依賴的臨界行為。圖1g展示了序參量隨系統尺寸N的變化曲線。在N≤7的區域，由于非厄米趨膚態較弱的非正交性，系統展現多頻振蕩。隨著尺寸的增加738時，系統的弱非線性近似被破壞，非線性本征態主導了系統的動力學特性。當尺寸增大到N>45時，由非線性-非厄米趨膚態統治的全局同步效應出現，即非厄米-非線性全局趨膚同步。上面結果顯示，通過增加非厄米-非線性系統的尺寸，可以展現線性或非線性非厄米全局趨膚同步效應，這一反常現象與傳統同步模型相反。發生這一現象的本質原因是：線性和非線性趨膚態的非正交性會隨著系統尺寸的增大而增強。
 

　　另外，研究人員發現，非厄米趨膚全局同步效應也可以在具有互易耦合的增益損耗系統中存在，進一步證明了非厄米趨膚全局同步的普適性。
 

圖1. 非厄米趨膚全局同步的理論結果。
 

　　研究亮點二：理論揭示非厄米拓撲全局同步效應
 

　　除了非厄米趨膚全局同步效應，研究人員進一步對基于1D非厄米SSH鏈的耦合非線性振子模型(圖2a)進行了研究。研究發現，通過調節拓撲邊界態的空間分布和局域強度，可以使系統展現多種非厄米同步效應。當拓撲邊界態與非厄米趨膚態局域在同一邊界時，系統可以展現非厄米-線性趨膚全局同步(圖2b，2f所示，同步趨膚態的局域化程度(IPR)比拓撲態更小)，非厄米-非線性趨膚全局同步(圖2c，2g，拓撲態和趨膚態的IPR接近)和非厄米拓撲全局同步(圖2d，2h，拓撲態的IPR最小)。另外，當拓撲邊界態與非厄米趨膚態局域在相反邊界時，系統兩邊界附近的非線性振子分別展現由線性趨膚態和拓撲態主導的同步效應，即非厄米趨膚-拓撲同步簇(圖2e，2i)。最后，研究人員進一步計算了序參量隨包間耦合強度以及晶格長度的變化關系，揭示了上述非厄米全局同步效應間的轉變規律，如圖2j和2k所示。
 

圖2. 非厄米拓撲全局同步的理論結果。
 

　　研究亮點三：基于非厄米-非線性拓撲電路的實驗觀測
 

　　為了對上述理論預言進行實驗證明，研究人員設計并制備了兩種非厄米-非線性拓撲電路(圖3a-3b和圖4a-4b所示)，使其電壓動力學演化方程與圖1a和2a中的耦合非線性振子模型的時域薛定諤方程在數學形式上完全一致。進而通過對電路電壓演化特性的測量，實現了對上述非厄米趨膚全局同步(圖3c-3h)以及非厄米拓撲全局同步(圖4c-3h)的實驗觀測。
 

圖3. 非厄米線性趨膚同步電路實驗結果。
 

圖4. 非厄米拓撲同步電路實驗結果。
 

　　該工作首次揭示了具有反常特性的非厄米趨膚全局同步和非厄米拓撲全局同步效應。設計并制備了兩種非厄米-非線性拓撲電路，實現了對非厄米趨膚全局同步以及非厄米拓撲全局同步的實驗證明。與傳統厄米同步系統不同，非厄米全局同步具有初態魯棒性，結構擾動魯棒性，同步模式可調性以及尺度可拓展性等獨特性質。這些特點使其在眾多非線性同步系統中，具有潛在的應用前景。